Möbius

[Finanzamt 93]

Bei allem Stress habe ich immer noch was zur Entspannung im Hinterkopf: Wie berechnet man die Fläche eines Möbiusstreifens, der aus einem 30,5 * 3 cm großen Papierstreifen mit 0,5 cm Überlappung gebastelt wird. Die Lösung 30*3 = 90 cm² gilt nicht, weil zu einfach. Geht mir schon lange durch den Kopf, habe aber immer (zu schnell?) aufgegeben - war wohl nicht entspannend genug. 

Ich habe zudem den Eindruck, dass der Lösungsweg irgendwie was mit der Steuerberechnung meines institutionellen Namensvetters zu tun  hat.

Gegrüßt!

[cj_berlin 1.508]

Ich verstehe nicht das Problem - das Doppelte, also 180 cm², da ja die einzige Seite des Möbiusstreifens sich aus beiden Seiten des Papierstreifens zusammensetzt... Oder ist mein Mathematikstudium zu lange her, und es gibt eine Besonderheit?

[Finanzamt 93]

Moin Evgenij!

Besonderheit ... na ja: Es müsste eine 3-D Flächenberechnung sein, die diese Drehung berücksichtigt. 90cm² zweidimensional oder 180cm² zweimal zweidimensional sind die "zu einfachen" Lösungen. Doch wie berechne ich die 2-D-Fläche im 3-D-Raum? Von der Mittellinie ausgehen, dann habe ich eine 3-D-Linie. Von der Mittellinie bis zum Rand ist es immer die gleiche Strecke. Die kann ich in unendlich viele Segmente teilen ... aber damit habe ich es wieder auf 2-D reduziert.

Es müsste doch so was wie eine sphärische, eben 3-D-Berechnung geben ... oder? Wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Möbiusband#Parameterdarstellung liefert mit der Zeichenanleitung einen interessanten Ansatz. Aber die Beschreibung mit Zylinderkoordinaten reduziert wieder auf 2D. 

Gibt es eine echte 3-D-Berechnung, könnte ich die vlt. auch für einen "Möbius-Quader" verwenden, also ein verdrehtes 3-D - Objekt, über das ich eine weitere Dimension rechnerisch erschlösse. Daraus ließe sich die nächste Dimension "erdrehen" usw.

Du siehst: Denksport pur. Oder Jonglieren auf dem Holzweg ☺. 
LG Hermann
 

[cj_berlin 1.508]

Das ist nicht richtig. Deine Aufgabenstellung war ja... "der aus einem 30,5 * 3 cm großen Papierstreifen mit 0,5 cm Überlappung gebastelt wird" somit, da das Papier nicht dehnbar ist und nicht angeschnitten wird (was z.B. bei einer Sphäre zwingend notwendig wäre) gilt für das Möbiusband das gleiche wie für einen Zylinder, den man ohne Verdrehung geklebt bekäme.

Das mit der Parameterdarstellung ist eine andere Fläche. Die ließe sich nicht ohne weiteres aus Papier basteln, hätte aber auch bei gleicher Kantenlänge und Streifenbreite einen anderen Flächeninhalt. Die könntest Du aber nicht flach auslegen, wenn Du das Band einmal quer durchschneidest.

bearbeitet 8. August von cj_berlin

[daabm 1.431]

Du hast nen Streifen, der auf beiden Seiten eine bestimmte Fläche hat. Die Überlappung geht auf beiden Seiten davon weg. Ich verstehe das Problem grad auch nicht  Die Dehnung/Stauchung durch das Verbiegen gleicht sich dabei - bei gleichmäßig flexiblem Material - vollständig aus, weil die Materialmitte (sowohl in Quer- als auch in Längsrichtung) immer gleich lang bleibt.